বইটার চতুর্থ অধ্যায়ে 84 পাতার অংকটায় আমরা কয়েকটা জিনিস ব্যবহার করেছি,
যেগুলো আগে লিখে দিলে হয়তো
বুঝতে সুবিধা হবে৷
যদি $A\subseteq B$ হয়, তবে $A$-র limit point-রা
$B$-এরও limit point হতে বাধ্য৷ মানে $A'\subseteq B'.$
যদি একটা set দেওয়া থাকে $A,$ আর তুমি ওর প্রতিটা element-এর
সঙ্গে $5$ যোগ করে দাও, (মানে পুরো set-টাই $5$ ঘর ডানদিকে সরে
যায়), তবে ওর limit point-গুলোও $5$ ঘর ডানদিকে সরে যেতে বাধ্য৷ এখানে
$5$-এর কোনো বিশেষ মাহাত্ম্য নেই, যেকোনো সংখ্যা $ b$-র জন্যই $(A+b)'=A'+b$ হবে৷
যদি $A$-র প্রতিটা element-কে $5$ দিয়ে গুণ করে দাও (মানে
$A$-কে টেনে $5$-গুণ লম্বা করে দাও), তবে limit point-গুলোও
$5$ দিয়ে গুণ হয়ে যাবে৷ In general, যেকোনো সংখ্যা $b\neq0$-র
জন্যই $(bA)' = bA'$ হবে৷
যদি $A$ থেকে কেবল finite-সংখ্যক element ফেলেও দাও,
তাতে তার limit point-রা বদলায় না৷
যদি তোমাকে finite-সংখ্যক set দিই, $A_1,A_2,...,A_n,$ আর
ওদের union নিলে $A$ হয়, তবে $A' = A_1'\cup A_2'\cup\cdots\cup A_n'$ হবে৷
এই কটা জিনিস মাথায় রেখে এবার আমাদের অংকটা দেখা যাক৷ ধাপে ধাপে এগোব৷
প্রথম ধাপে লক্ষ করো--
$$E = E_1\cup E_2\cup \cdots.$$
তাই $E_1, E_2,...$ ইত্যাদিরা সবাই $E$-এর subset. সুতরাং এদের limit point-রা
$E$-এরও limit point. এবার লক্ষ করো যে,
$$E_1 = \{1+1,1+\frac12,1+\frac13,...\} = 1+\{1,\frac12,\frac13,...\}.$$
আমরা জানি যে, $ \{1,\frac12,\frac13,...\}$-এর একমাত্র limit point হল $0.$ তাই $E_1' = \{1\}.$
একইভাবে $E_2 = \frac12+\{\frac12,\frac13,...\}.$ তাই $E_2' = \{\frac12\}.$
সুতরাং বোঝা যাচ্ছে যে, $1,\frac12,\frac13,...$ ইত্যাদিরা সবাই $E$-এর limit point.
দ্বিতীয় ধাপে দেখাবো যে $0$-ও $E$-এর একটা limit point. এর জন্য দ্যাখো যে $1 = \frac12+\frac12\in E,$
আবার $\frac12 = \frac14+\frac14\in E,$ তারপর $\frac13 = \frac16+\frac16\in E.$ এইভাবে চলতে চলতে
পুরো $ \{1,\frac12,\frac13,...\}$-ই হল $E$-এর subset. সুতরাং $0$ হবে $E$-এর
limit point.
এইভাবে প্রথম দুই ধাপের শেষে দেখলাম যে, $\{0\}\cup\{1,\frac12,\frac13,...\}\subseteq E'.$
এবার তৃতীয় ধাপে দেখাব যে এছাড়া $E$-এর আর কোনো limit point নেই, মানে $A = \{0\}\cup\{1,\frac12,\frac13,...\}$
নিলে দেখাবো যে $E'=A.$
এইটা একটু ঘুরপথে দেখাব৷ $E'=A$ দেখানো আর $E'\setminus A=\phi$ দেখানো একই কথা৷
আবার সেটা দেখানো আর $E'\setminus A\subseteq \cap_{k=1}^\infty (0,\frac{1}{2k}]$ দেখানোর মানে
একই৷ এই জায়গাটা কিন্তু বেশ কঠিন৷
একটু ছবি দিয়ে ভেবে নাও যে কেন $\cap_{k=1}^\infty (0,\frac{1}{2k}]$ আসলে $\phi.$ না বুঝলে জিজ্ঞাসা কোরো৷
তাহলে আমরা দেখাবো যে, যেকোনো $k$-র জন্যই $E'\setminus A\subseteq (0,\frac1k]$ হবে৷
প্রথমে দ্যাখো যে $E = E_1\cup\cdots\cup E_{k-1}\cup F_k,$ যেখানে $F_k = E_k\cup\cdots.$
এটা finite-সংখ্যক set-এর union, তাই
$E' = E_1'\cup\cdots\cup E_{k-1}'\cup F_k'.$
লক্ষ করো যে, $F_k$-এর মধ্যে প্রতিটা element-ই $\leq\frac{1}{2k}.$ তাই $F_k$-র কোনো
limit point-ই $[0,\frac{1}{2k}]$-র বাইরে যাবে না৷ এদিকে $E_1', E_2',...,E_{k-1}'$ তো $A$-র
মধ্যে ধরাই আছে৷ তাই
$E'\setminus A\subseteq (0,\frac{1}{2k}]$ হতে বাধ্য, ঠিক যেমনটা আমরা চাইছিলাম৷
বোঝা গেল কি? নাকি এবারও গুলিয়ে গেল?
মন্তব্য
নীচে একটা মন্তব্য দেওয়ার জায়গা রয়েছে. দেখে মনে হবে যেন তার জন্য আগে log
in করতে হবে. যদি তাতে আপত্তি থাকে, তবে ওই "Name"-এর জায়গায় একবার
click করলেই "I'd rather post as a guest" বলে একটা option আসবে.